Orthogonale Gruppe

Die orthogonale Gruppe ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ist die Gruppe der orthogonalen ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrizen mit reellen Elementen. Die Verknüpfung der orthogonalen Gruppe ist die Matrizenmultiplikation. Bei der orthogonalen Gruppe handelt es sich um eine Lie-Gruppe der Dimension ${\displaystyle {\tfrac {n(n-1)}{2}}}$. Da die Determinante einer orthogonalen Matrix nur die Werte ${\displaystyle \pm 1}$ annehmen kann, zerfällt ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ in die beiden disjunkten Teilmengen (topologisch: Zusammenhangskomponenten)

• die Drehgruppe ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ aller Drehungen (orthogonale Matrizen mit Determinante ${\displaystyle +1}$) und
• ${\displaystyle \mathrm {O} (n)\setminus \mathrm {SO} (n)}$ aller Drehspiegelungen (orthogonale Matrizen mit Determinante ${\displaystyle -1}$).

Die Untergruppe ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ heißt die spezielle orthogonale Gruppe. Insbesondere ist die ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ als die Gruppe aller Drehungen um eine durch den Koordinatenursprung verlaufende Achse im dreidimensionalen Raum von großer Bedeutung in zahlreichen Anwendungen, wie etwa der Computergraphik oder der Physik.